Módulo 07Análisis
Regresión Lineal: Modelando Relaciones en Salud
Objetivos de aprendizaje
◆Distinguir correlación de causalidad y elegir entre Pearson y Spearman según el tipo de variable.
◆Construir e interpretar un modelo de regresión lineal simple: intercepto, pendiente y R².
◆Comprender el método de mínimos cuadrados ordinarios de forma intuitiva.
◆Verificar los supuestos LINE del modelo de regresión y actuar cuando se violan.
◆Extender la regresión simple al modelo múltiple e interpretar coeficientes parciales.
◆Aplicar regresión lineal a un ejemplo real de síndrome metabólico en ciencias de la salud.
Dos variables que varían juntas, ¿se influyen entre sí? ¿Cuánto cambia una cuando la otra aumenta? ¿Puedo predecir la resistencia a la insulina de un paciente sabiendo su perfil lipídico? La regresión lineal responde estas preguntas con elegancia y parsimonia, y es sin duda la técnica estadística más usada en la investigación en ciencias de la salud.
1
Correlación: Medir la Fuerza de una Asociación
Antes de modelar, hay que saber si hay algo que modelar
La correlación cuantifica la fuerza y dirección de la relación lineal entre dos variables cuantitativas, pero no establece causalidad ni permite predecir valores concretos. Es el primer paso antes de una regresión.
Coeficiente de Pearson (r) — para variables cuantitativas con distribución normal
r = Σ[(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ)] / √[Σ(xᵢ − x̄)² · Σ(yᵢ − ȳ)²]
Varía entre −1 y +1. r = +1: correlación positiva perfecta. r = −1: negativa perfecta. r = 0: sin correlación lineal. Requiere: ambas variables cuantitativas, relación lineal, distribución aproximadamente normal, sin outliers influyentes.
Correlación de Spearman (ρ) — para ordinales o distribución no normal
ρ = 1 − 6Σdᵢ² / [n(n²−1)] donde dᵢ = diferencia de rangos
Mide la correlación entre los rangos (posiciones ordenadas) en lugar de los valores. Robusta a outliers y válida para variables ordinales. Úsala cuando Pearson no está justificado.
⚠️Correlación ≠ Causalidad: el error más frecuente en investigación
El consumo de helados correlaciona positivamente con el número de ahogamientos en playa. ¿Los helados causan ahogamientos? No: ambas aumentan en verano (factor confusor).
En salud: el nivel de glucosa correlaciona con el número de medicamentos del paciente. No porque la glucosa «cause» la polifarmacia, sino porque ambas comparten el confusor «severidad de la enfermedad». Antes de interpretar una correlación, siempre pregunta: ¿existe algún tercer factor que podría explicar esta asociación?
En salud: el nivel de glucosa correlaciona con el número de medicamentos del paciente. No porque la glucosa «cause» la polifarmacia, sino porque ambas comparten el confusor «severidad de la enfermedad». Antes de interpretar una correlación, siempre pregunta: ¿existe algún tercer factor que podría explicar esta asociación?
| |r| o |ρ| | Fuerza de asociación | En la práctica |
|---|---|---|
| 0.90 – 1.00 | Muy fuerte | Raro en ciencias de la salud fuera de mediciones redundantes |
| 0.70 – 0.89 | Fuerte | Relevante clínicamente; puede justificar un modelo predictivo |
| 0.50 – 0.69 | Moderada | Asociación real pero con mucha variación no explicada |
| 0.30 – 0.49 | Débil | Estadísticamente significativa con n grande, pero clínicamente modesta |
| 0.00 – 0.29 | Muy débil / nula | No justifica un modelo predictivo |
2
Regresión Lineal Simple
El modelo más simple que va más allá de la correlación
Mientras la correlación mide la fuerza de la asociación simétricamente, la regresión la modela asimétricamente: hay una variable dependiente (Y, la que quiero predecir o explicar) y una independiente (X, el predictor). La regresión construye la línea que mejor resume esa relación.
Modelo de regresión lineal simple
ŷᵢ = β₀ + β₁xᵢ + εᵢ
ŷᵢ: valor predicho de Y para el individuo i. β₀ (intercepto): valor de Y cuando X = 0. β₁ (pendiente): cambio en Y por cada unidad adicional de X. εᵢ (residuo): diferencia entre valor observado y predicho — lo que el modelo no explica.
💡Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO): la intuición geométrica
¿Cómo elige el software la «mejor» línea entre todas las posibles? Minimizando la suma de los cuadrados de los residuos:
Σ(yᵢ − ŷᵢ)² = Σεᵢ² → mínimo
Se eleva al cuadrado para que residuos positivos y negativos no se cancelen, y para penalizar más los errores grandes que los pequeños. Las fórmulas de β₀ y β₁ que el software calcula son la solución analítica exacta de esa minimización.
Σ(yᵢ − ŷᵢ)² = Σεᵢ² → mínimo
Se eleva al cuadrado para que residuos positivos y negativos no se cancelen, y para penalizar más los errores grandes que los pequeños. Las fórmulas de β₀ y β₁ que el software calcula son la solución analítica exacta de esa minimización.
Estimadores MCO para β₀ y β₁
β₁ = Σ(xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ) / Σ(xᵢ−x̄)² β₀ = ȳ − β₁ · x̄
β₁ es la covarianza de X e Y dividida entre la varianza de X. β₀ garantiza que la línea pase por el punto de medias (x̄, ȳ).
Explorador de Regresión — Síndrome Metabólico
n = 30 casos simulados, inspirados en el patrón clínico descrito para Maracaibo, Venezuela. Variable X = Razón TAG/HDL · Variable Y = HOMA-2 (resistencia a insulina).
Inspirado en: Hernández-Lalinde et al. (2020). AVFT, 38(5), 608–616.
Inspirado en: Hernández-Lalinde et al. (2020). AVFT, 38(5), 608–616.
Los datos mostrados son simulados con fines educativos.
Intercepto (β₀)
0.092
Pendiente (β₁)
0.745
por unidad de X
Correlación (r)
0.996
Muy fuerte
R² (bondad ajuste)
99.2%
varianza explicada
Ecuación del modelo: HOMA-2 = 0.092 + 0.745 × (TAG/HDL)
Interpretación: por cada unidad que aumenta la razón TAG/HDL, la resistencia a la insulina (HOMA-2) aumenta en 0.745 unidades. El modelo explica el 99.2% de la variabilidad en HOMA-2.
Interpretación: por cada unidad que aumenta la razón TAG/HDL, la resistencia a la insulina (HOMA-2) aumenta en 0.745 unidades. El modelo explica el 99.2% de la variabilidad en HOMA-2.
3
Bondad del Ajuste: ¿Cuánto Explica el Modelo?
R²: la métrica que convierte la ecuación en una historia
Coeficiente de determinación R²
R² = 1 − (SCRes / SCTot) = SCReg / SCTot
SCRes = Σ(yᵢ − ŷᵢ)²: variación no explicada por el modelo. SCTot = Σ(yᵢ − ȳ)²: variación total de Y. SCReg = variación explicada por el modelo. R² ∈ [0, 1].
✅Interpretación de R² con un caso real
En el modelo HOMA-2 = β₀ + β₁(TAG/HDL) con los 30 pacientes del estudio de Hernández-Lalinde et al., R² ≈ 0.94.
Interpretación: el 94% de la variabilidad en la resistencia a la insulina (HOMA-2) está explicada por la razón triglicéridos-colesterol (TAG/HDL). El 6% restante se debe a otros factores no incluidos en el modelo (edad, IMC, actividad física).
En ciencias de la salud, R² > 0.70 es considerado un ajuste excelente. En estudios transversales con muchas variables confusoras, R² de 0.20–0.40 es habitual y no invalida el modelo si los coeficientes son clínicamente relevantes.
Interpretación: el 94% de la variabilidad en la resistencia a la insulina (HOMA-2) está explicada por la razón triglicéridos-colesterol (TAG/HDL). El 6% restante se debe a otros factores no incluidos en el modelo (edad, IMC, actividad física).
En ciencias de la salud, R² > 0.70 es considerado un ajuste excelente. En estudios transversales con muchas variables confusoras, R² de 0.20–0.40 es habitual y no invalida el modelo si los coeficientes son clínicamente relevantes.
⚠️R² ajustado: cuándo usarlo en vez de R²
El R² simple siempre aumenta (o se mantiene igual) al añadir más predictores, incluso si son irrelevantes. Esto lleva a modelos sobreajustados que «memorizan» los datos pero no generalizan.
R² ajustado = 1 − [(1 − R²)(n − 1) / (n − k − 1)]
donde k = número de predictores. Penaliza la complejidad del modelo. En regresión múltiple, reporta siempre R² ajustado.
R² ajustado = 1 − [(1 − R²)(n − 1) / (n − k − 1)]
donde k = número de predictores. Penaliza la complejidad del modelo. En regresión múltiple, reporta siempre R² ajustado.
4
Los Supuestos del Modelo: LINE
Las condiciones que hacen que los resultados sean válidos
Si los supuestos se cumplen, los coeficientes MCO son los mejores estimadores lineales insesgados (MELI). Si se violan, las estimaciones siguen siendo calculables pero pueden ser sesgadas, ineficientes o con intervalos de confianza incorrectos.
L — Linealidad
¿Cómo verifico? Gráfico de dispersión X vs Y; gráfico de residuos vs. valores ajustados
Si falla: Incluir término cuadrático (X²) o transformar variables (log, raíz).
I — Independencia
¿Cómo verifico? Test Durbin-Watson; gráfico de residuos en el tiempo
Si falla: Modelos mixtos o de efectos aleatorios para datos correlacionados (pacientes en el mismo hospital).
N — Normalidad
¿Cómo verifico? Q-Q plot de residuos; test Shapiro-Wilk
Si falla: Con n ≥ 30, el TCL hace la regresión robusta. Si es pequeño, considera transformaciones.
E — Equivarianza (homocedasticidad)
¿Cómo verifico? Gráfico residuos vs. valores ajustados (patrón de embudo = heteroscedasticidad)
Si falla: Errores estándar robustos (HC) o transformación logarítmica de Y.
5
Regresión Lineal Múltiple
El mundo real tiene más de una causa: ajustar por confusores
La regresión simple tiene un defecto: el mundo no funciona con una sola causa. La resistencia a la insulina no depende solo del TAG/HDL; también influyen la edad, el IMC y otros factores. La regresión múltiple incorpora todos estos predictores simultáneamente.
Modelo de regresión lineal múltiple
ŷ = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + … + βₖxₖ + ε
Cada βⱼ es el coeficiente parcial de regresión: el cambio en Y por una unidad adicional de xⱼ, manteniendo todas las demás variables constantes ('ceteris paribus'). Esta es la clave de la regresión múltiple y la razón por la que se usa para ajustar por confusores.
Ejemplo: Modelo múltiple — HOMA-2 en síndrome metabólico
HOMA-2 = 0.23 + 0.51·(TAG/HDL) + 0.018·(Edad) + 0.031·(IMC)
β₁ = 0.51
TAG/HDL
Cada unidad que aumenta el cociente TAG/HDL aumenta 0.51 puntos en HOMA-2, ajustando por edad e IMC.
β₂ = 0.018
Edad (años)
Cada año adicional de edad aumenta 0.018 puntos en HOMA-2, ajustando por TAG/HDL e IMC.
β₃ = 0.031
IMC (kg/m²)
Cada unidad de IMC adicional aumenta 0.031 puntos en HOMA-2, ajustando por TAG/HDL y edad.
R² ajustado ≈ 0.96 — el modelo múltiple explica más variabilidad que el simple porque incorpora predictores independientes adicionales.
🧠Multicolinealidad: el peligro oculto en la regresión múltiple
Si dos predictores están muy correlacionados entre sí (p.ej., IMC y circunferencia abdominal), los coeficientes se vuelven inestables: pequeños cambios en los datos cambian drásticamente los valores de β, los errores estándar se inflan y la interpretación individual se distorsiona. El modelo global puede tener buen R², pero ningún predictor individual parece «significativo».
Cómo detectarla:Factor de Inflación de la Varianza (VIF). VIF > 5–10 sugiere multicolinealidad problemática.
Cómo resolverla: eliminar uno de los predictores redundantes, crear un índice compuesto, o usar regresión ridge (penalizada).
Cómo detectarla:Factor de Inflación de la Varianza (VIF). VIF > 5–10 sugiere multicolinealidad problemática.
Cómo resolverla: eliminar uno de los predictores redundantes, crear un índice compuesto, o usar regresión ridge (penalizada).
6
Límites y Errores Frecuentes
Lo que la regresión lineal no puede (y no debe) hacer
| Error común | Por qué es un problema | Alternativa correcta |
|---|---|---|
| Usar regresión lineal con variable Y dicotómica (sí/no) | Las predicciones pueden salir fuera del rango 0–1; viola el supuesto de normalidad de residuos | Regresión logística (módulo 8: Modelos Multivariantes) |
| Extrapolar el modelo fuera del rango de X | La relación lineal puede no mantenerse fuera del rango observado; genera predicciones absurdas | Restringir las predicciones al rango de X observado; usar intervalos de predicción |
| Interpretar β₁ como efecto causal | En datos observacionales, puede haber confusores. La regresión controla los confusores medidos, no los no medidos | Reconocer explícitamente que se trata de asociación ajustada, no de causalidad demostrada |
| Incluir demasiados predictores (sobreajuste) | El modelo se «memoriza» los datos y no generaliza a nuevas observaciones | Regla heurística: mínimo 10–20 eventos por predictor. Usar R² ajustado o validación cruzada |
| No verificar los supuestos LINE | Los coeficientes pueden ser inválidos sin que el software lo avise | Siempre inspeccionar gráficos diagnósticos (residuos, Q-Q plot) antes de publicar |
7
Consolida lo Aprendido
Verifica tu comprensión
Un investigador construye un modelo de regresión lineal con glucosa basal (Y) como variable dependiente y HbA1c (%) como predictor. Obtiene β₁ = 8.4 (IC 95%: 7.1–9.7) y R² = 0.68. ¿Cuál es la interpretación correcta de β₁?
Verifica tu comprensión
Una nutricionista aplica regresión lineal múltiple para predecir el porcentaje de masa grasa (Y) usando IMC (X₁) y edad (X₂). Obtiene R² = 0.71. Al añadir el perímetro abdominal (X₃, muy correlacionado con IMC), R² sube a 0.72 pero los errores estándar de β₁ se inflan enormemente. ¿Cuál es el problema?
📚 Recursos y Referencias Clave
Lecturas fundamentales
Hernández-Lalinde, J. et al. (2020). Sobre el uso adecuado de la regresión lineal: Conceptualización básica mediante un ejemplo aplicado a las ciencias de la salud. AVFT, 38(5), 608–616.
Artículo de referencia de este módulo. Ejemplo real con síndrome metabólico, fórmulas MCO y código en R. Acceso libre.
Montgomery, D. C., & Runger, G. C. (2018). Applied statistics and probability for engineers (7ª ed.). Wiley.
Capítulos 11–13: regresión lineal simple y múltiple, verificación de supuestos y diagnóstico del modelo.
Harrell, F. E. (2015). Regression modeling strategies (2ª ed.). Springer.
Para el que quiera ir más allá: estrategias para modelos complejos en salud, incluyendo penalización y validación.
Herramientas en R
# Regresión lineal simple en R
modelo <- lm(HOMA2 ~ TAG_HDL, data = datos)
summary(modelo)
# Regresión múltiple
modelo_m <- lm(HOMA2 ~ TAG_HDL + Edad + IMC, data = datos)
plot(modelo_m) # gráficos diagnósticos
# VIF para multicolinealidad
car::vif(modelo_m)
modelo <- lm(HOMA2 ~ TAG_HDL, data = datos)
summary(modelo)
# Regresión múltiple
modelo_m <- lm(HOMA2 ~ TAG_HDL + Edad + IMC, data = datos)
plot(modelo_m) # gráficos diagnósticos
# VIF para multicolinealidad
car::vif(modelo_m)
📊 Alternativa sin código
Jamovi: Análisis → Regresión → Regresión Lineal. Muestra R², coeficientes con IC 95%, y gráficos diagnósticos básicos.
JASP: Módulo de Regresión Lineal con output publicable en formato APA directamente.
JASP: Módulo de Regresión Lineal con output publicable en formato APA directamente.